МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО, вообще говоря, геометрическое пространство, в к-ром все геометрические отношения определяются через основное понятие расстояния (см. также Метрическая геометрия). Об осуществлении этой общей идеи в дифференциальной геометрии см. Геометрия (раздел Геометрия Римана). Ниже изложена возникшая позднее более элементарная и в то же время более общая концепция М. п. Любые две точки плоскости или трехмерного пространства находятся между собой на определенном расстоянии. Если обозначить расстояние между двумя точками и плоскости или пространства через , то можно записать следующие общеизвестные свойства расстояния: 1) , причем тогда и только тогда, когда точки и совпадают; другими словами, расстояние между двумя различными точками есть всегда положительное число, расстояние от точки до нее самой равно нолю. 2) , т. е. расстояние между двумя точками не зависит от порядка, в каком эти точки рассматриваются. 3) Для любых трех точек имеем , т. е. расстояние от первой точки до третьей не более, чем сумма расстояний от первой точки до второй и от второй до третьей. Это последнее свойство совпадает с известным предложением элементарной геометрии: сумма двух сторон треугольника больше третьей и может равняться ей только, если треугольник «вырождается в отрезок», т. е. если одна из его вершин лежит на противоположной к этой вершине стороне. Иногда оказывается возможным и целесообразным определять расстояние и между другими предметами, не только между точками пространства, однако все же так, что для этого нового расстояния свойства 1—3 попрежнему оказываются выполненными. Например, можно рассматривать точки на поверхности шара и определить расстояние между двумя такими точками как кратчайшее расстояние по данной шаровой поверхности, т. е. как длину той из двух дуг большого круга, проходящего через эти точки, к-рая короче [если две точки диаметрально противоположны — и только в этом случае, — то имеется более двух, а именно бесконечно много соединяющих их дуг больших кругов, но все они имеют ту же длину (если есть радиус шара), к-рая и принимается за расстояние между двумя противоположными точками шаровой поверхности].
Определение М. п. Множество каких-нибудь элементов, в котором для любых двух элементов определено расстояние между этими элементами, т. е. некоторое число , удовлетворяющее условиям 1—3, называется М. п. Элементы множества обычно называются точками М. п. Условия 1—3, которым удовлетворяет расстояние между точками М. п., называются аксиомами М. п.
Примеры М. п. Из сказанного выше следует, что плоскость, так же как и трехмерное пространство, является частным случаем М. п. Так как расстояние в -мерном Эвклидовом пространстве (см. Многомерное пространство) обладает свойствами 1—3, то Эвклидово пространство любого числа измерений есть М. п. Бесконечно-мерным обобщением Эвклидова пространства является т. н. Гильбертово пространство (см. Пространство). Важное место среди М. п. занимают различные пространства, точками к-рых являются функции, напр., ограниченные функции, определенные на каком-нибудь определенном отрезке (напр., на отрезке числовой прямой) и принимающие на этом отрезке действительные значения. Расстояние между функциями и определяется как верхняя грань абсолютной величины разности при , пробегающем все точки отрезка, на к-ром определены все эти функции (см. Функциональный анализ, а также в ст. Пространство о функциональном пространстве). Число примеров М. п. может быть увеличено до бесконечности. Всякое подмножество метрического пространства есть М. п., если брать за расстояние между двумя точками то расстояние, к-рое эти самые точки имеют в . Так, в пространстве ограниченных действительных функций, определенных на отрезке , в качестве подпространства содержится множество всех функций, непрерывных на том же отрезке. Два М. п. называются конгруэнтными между собой, если одно из них можно конгруэнтно, т. е. с сохранением расстояний, отобразить на другое. Из первой аксиомы М. п. следует, что конгруэнтные отображения всегда взаимно однозначны. В М. п. сходимость определяется следующим образом: последовательность точек называется сходящейся к точке , если стремится к нолю при бесконечно возрастающем . Если в М. п. даны точка и множество , причем существует сходящаяся к последовательность точек, принадлежащих к , то называется точкой прикосновения множества ; если при этом эту последовательность можно выбрать так, чтобы все ее элементы были отличны от самой точки, то называется предельной точкой множества . Совокупность всех точек прикосновения множества , или, что то же самое, совокупность всех точек множества и всех его предельных точек, называется замыканием множества в метрическом пространстве . Это определение замыкания делает всякое М. п. топологическим пространством (см. о нем в ст. Пространство) и позволяет говорить о топологических свойствах М. п., их гомеоморфизме и пр. В частности, отображение М. п. на М. п. непрерывно, если всякая сходящаяся последовательность точек пространства имеет в качестве своего образа сходящуюся последовательность точек пространства . Всякая сходящаяся последовательность в М. п. удовлетворяет т. н. условию сходимости Коши: каждому положительному можно отнести такое , что для имеем . Если, обратно, всякая последовательность, удовлетворяющая условию Коши и состоящая из точек данного метрического пространства , сходится в , то М. п. называется полным. Полные М. п. являются наиболее важными среди М. п.