БСЭ1/Матрица, в математике

← Матрилокальность

Матрица, в математике Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Матрица, в производстве →

Словник: Маммилярия — Мера стоимости. Источник: т. XXXVIII (1938): Маммилярия — Мера стоимости, стлб. 479—481

МАТРИЦА, прямоугольная таблица элементов $a_{ik}$ (чисел, буквенных выражений), состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов:

$\Vert \begin{array}{c}{a}_{11}{a}_{12}{a}_{13}\dots a_{1n}\\ a_{21}{a}_{22}{a}_{23}\dots a_{2n}\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m1}{a}_{m2}{a}_{m3}\dots a_{mn}\end{array}\Vert$    (1)

М. принято окаймлять двойными черточками; в нек-рых руководствах вместо двойных черточек употребляются круглые скобки. Иногда, ради сокращения письма, М. обозначается через $\Vert a_{ik}\Vert$. Наибольший интерес представляют квадратные М., для к-рых $m$ и $n$ равны. Квадратную М. $\Vert a_{ik}\Vert$ можно рассматривать как. сокращенную запись линейного однородного преобразования:

$\begin{array}{c}{y}_1=a_{11}{x}_1+\dots +a_{1n}{x}_n\\ y_2=a_{21}{x}_1+\dots +a_{2n}{x}_n\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ y_n=a_{n1}{x}_1+\dots +a_{nn}{x}_n\end{array}$.

Поэтому М. пользуются во всех разделах математики и физики, где приходится иметь дело с линейными преобразованиями, В квантовой механике часто употребляются бесконечные М.

$\Vert \begin{array}{c}{a}_{11}{a}_{12}\dots \dots \dots \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \end{array}\Vert$

появляющиеся при рассмотрении линейной зависимости между векторами в бесконечномногомерном пространстве.

Понятие М. обязано своим возникновением теории линейных уравнений (см.), в к-рой основную роль играет т. н. ранг М. Из М. (1) молено составить определители (см.) $k$-го порядка, выделяя произвольно $k$ строк и $k$ столбцов: очевидно, что порядок $k$ определителей не может превосходить меньшего из чисел $m$, $n$. Рангом М. называется наивысший порядок определителя М., отличного от ноля. Например, ранг М.:

$\Vert \begin{array}{cccc}1& 3& 5& 6\\ 2& 0& -1& 1\\ 3& 3& 4& 7\end{array}\Vert$

равен двум, т. к. не равен нолю определитель второго порядка, напр. $\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 0\end{array}\right|=-6$, а все определители высшего (в данном случае третьего) порядка равны нолю. — Понятие ранга М. позволяет высказать следующую важнейшую теорему теории линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли. Система $m$ линейных уравнений с $n$ неизвестными

$\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\dots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$.

совместна тогда и только тогда, когда ранг М. из коэффициентов

$A=\Vert \begin{array}{c}{a}_{11}{a}_{12}\dots a_{1n}\\ a_{21}{a}_{22}\dots a_{2n}\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m1}{a}_{m2}\dots a_{mn}\end{array}\Vert$

равен рангу расширенной М.

$B=\Vert \begin{array}{c}{a}_{11}{a}_{12}\dots a_{1n}{b}_1\\ a_{21}{a}_{22}\dots a_{2n}{b}_2\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m1}{a}_{m2}\dots a_{mn}{b}_m\end{array}\Vert$

Значительное развитие теория М, получила лишь после исследований англ, математика 19 в. Кели (см.). Он первый стал рассматривать квадратные М. $n$-го порядка (т. е. М., состоящие из $n$ строк и $n$ столбцов) как комплексные величины. Он ввел для этих М. правила сложения и умножения.

Две квадратные матрицы $A=\Vert a_{ik}\Vert$, $B=\Vert b_{ik}\Vert$ $n$-го порядка называются равными, если каждый элемент $a_{ik}$ матрицы $A$ равен соответственному элементу $b_{ik}$ матрицы $B$. М. считается равной нолю, если все ее элементы — ноли. Под суммой двух квадратных М. $n$-го порядка $A=\Vert a_{ik}\Vert$ и $B=\Vert b_{ik}\Vert$ разумеется М. $\Vert a_{ik}+b_{ik}\Vert$ элементы к-рой являются суммой соответствующих элементов слагаемых М. Отсюда получается и правило вычитания М.:

$\Vert a_{ik}\Vert -\Vert b_{ik}\Vert =\Vert a_{ik}-b_{ik}\Vert$

Несколько сложнее определяется умножение М. Следуя Кели, назовем произведением матриц $A=\Vert a_{ik}\Vert$ и $B=\Vert b_{ik}\Vert$ матрицу $C=\Vert c_{ik}\Vert$ с элементами

$c_{ik}=a_{i1}{b}_{1k}+a_{i2}{b}_{2k}+\mathrm{...}+a_{in}{b}_{nk}$

По отношению к только что установленным операциям сложения и умножения квадратные М. $n$-го порядка похожи во многом на числа, а именно:

1) Выполняется ассоциативный (сочетательный) закон:

$A+(B+C)=(A+B)+C$;    $A(BC)=(AB)C$.

2) Сложение матрицы—коммутативно (перестановочно):

$A+B=B+A$

3) Выполняется дистрибутивный (распределительный) закон:

$A(B+C)=AB+AC$;    $(B+C)A=BA+CA$.

4) Существует вполне определенная матрица $E$, для к-рой $AE=A$,    $EA=A$, какова бы ни была матрица $A$.  $E$ есть не что иное, как М., состоящая из единиц по главной диагонали и нолей на остальных местах.

Но у М. есть свои характерные особенности. Прежде всего умножение М., вообще говоря, некоммутативно, не всегда $AB=BA$, Затем произведение $A\cdot B$ может равняться нолю, несмотря на то, что сомножители $A$ и $B$ нолю не равны. Например:

$\Vert \begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\Vert \cdot \Vert \begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\Vert =\Vert \begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\Vert =0$.

Матрицы $A$ и $B$, обладающие подобным свойством, называются делителями ноля.

Для матрицы $A$ может существовать не более одной обратной матрицы $A^{-1}$, для к-рой $A^{-1}A=A{A}^{-1}=E$. Чтобы матрица, обратная к $A$, существовала, необходимо и достаточно, чтобы определитель $\left|a_{ik}\right|$ был отличен от ноля.

Значение умножения М. станет более понятным, если мы рассмотрим М. в связи с линейными преобразованиями (см.). Матрица $\Vert a_{ik}\Vert =A$ соответствует линейное преобразование

$z_i=a_{i1}{y}_1+a_{i2}{y}_2+\mathrm{...}+a_{in}{y}_n$;    $i=1,2,\mathrm{...},n$;    ($A$)

матрице же $\Vert b_{ik}\Vert =B$ — преобразование

$y_i=b_{i1}{x}_1+b_{i2}{x}_2+\mathrm{...}+b_{in}{x}_n$;    $i=1,2,\mathrm{...},n$;    ($B$)

Если совершить сначала над переменными $x$ преобразование ($B$), а затем над полученными переменными $y$ преобразование ($A$), приводящее к переменным $z$ то в результате получается, преобразование переменной $x$ в переменные $z$:

$z_i=c_{i1}{x}_1+c_{i2}{x}_2+\mathrm{...}+c_{in}{x}_n$;    ($C$)

Это последнее преобразование и соответствует матрице $C=A\cdot B$. При этом М. с определителем $\left|a_{ik}\right|\ne 0$ соответствуют взаимно-однозначным (невырождающимся) линейным преобразованиям. Во всей математике фундаментальную роль играют группы (см.) взаимно-однозначных преобразований. Матрицы, соответствующие группе линейных преобразований, образуют группу матриц. В теории групп имеет большое значение представление произвольных (абстрактных) групп при помощи групп М.

Алгебра М. с указанными выше действиями сложения и умножения имеет множество применений в различных частях математики. В последнее время все более выдвигается также то, что можно назвать «матричным анализом», — теория аналитич. функций от М., дифференцирование и интегрирование матриц. В частности, на этих последних понятиях основано современное изложение теории систем линейных дифференциальных уравнений.

При изучении М. большую роль играет т. к. характеристич. уравнение матрицы $A=\Vert a_{ik}\Vert$, т. е. уравнение

$\Vert \begin{array}{c}{a}_{11}-x{a}_{12}{a}_{13}\dots a_{1n}\\ a_{21}{a}_{22}-x{a}_{23}\dots a_{2n}\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{n1}{a}_{n2}{a}_{n3}\dots a_{nn}-x\end{array}\Vert =0$

В частности, последний коэффициент характеристич. уравнения — сумма $\sum a_{ii}$ диагональных элементов матрицы $A$ — называется в теории групп характером М. Впервые теория характеров была развита Фробениусом в 1896—1899. В настоящее время характеры являются весьма сильным средством исследования в теории групп, в особенности в таких вопросах, как простота или разрешимость групп.

Лит.: Изложение общей теории матриц можно найти в следующих руководствах: Граве Д. А., Элементы высшей алгебры, Киев, 1914; Сушкевич А. К., Основы высшей алгебры, 3 изд., М. — Л., 1937; Бохер М., Введение в высшую алгебру, М. — Л., 1934; Окунев Л. Я., Высшая алгебра, М. — Л., 1937; Шрейер О. и Шпернер Е., Теория матриц, М. — Л., 1936; Wedderburn J. Н. М., Lectures on matrices, N. Y., 1934 (в этой книге имеется обширная библиография по теории матриц). Изложение теории характеров можно найти в следующих книгах: Шмидт О. Ю., Абстрактная теория групп, М. — Л., 1933; Ван дер Верден Б. Л., Современная алгебра, ч. 2, М. — Л., 1937; Weber Н., Lehrbuch der Algebra, Bd II, 2 Aufl., Braunschweig, 1899; Burnside W., Theory of groups of finite order, 2 ed., Cambridge, 1911. О функциях матриц и роли их при изучении дифференциальных уравнений см.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. III, 2 изд., Л — М., 1934.

Л. Окунев.